関数 $f(x) = (2x^3 + 2x + 1)^2$ が与えられたとき、$f'(1)$の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x^3 + 2x + 1)^2$ が与えられたとき、$f'(1)$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を微分して、$f'(x)$を求める。$f(x)$は合成関数なので、連鎖律を用いる。

$u = 2x^3 + 2x + 1$ とおくと、$f(x) = u^2$となる。

連鎖律より、

$f'(x) = \frac{df}{du} \frac{du}{dx}$

$\frac{df}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = 6x^2 + 2$

したがって、

$f'(x) = 2(2x^3 + 2x + 1)(6x^2 + 2)$

次に、$f'(1)$を計算する。

$f'(1) = 2(2(1)^3 + 2(1) + 1)(6(1)^2 + 2) = 2(2 + 2 + 1)(6 + 2) = 2(5)(8) = 80$

3. 最終的な答え

$f'(1) = 80$