関数 $f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=1$ における導関数の値 $f'(1)$ を計算してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、$x=1$ における導関数の値 $f'(1)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3$

$f(x) = 7x^3 + 2x^{\frac{1}{2}} + 3$ と書き換えることができます。

導関数の公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を使用します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(7x^3) + \frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{dx}(3)$

$f'(x) = 7 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} + 0$

$f'(x) = 21x^2 + x^{-\frac{1}{2}}$

$f'(x) = 21x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

次に、$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = 21(1)^2 + \frac{1}{\sqrt{1}}$

$f'(1) = 21(1) + \frac{1}{1}$

$f'(1) = 21 + 1$

$f'(1) = 22$

3. 最終的な答え

22