与えられた三角関数の値を求めます。具体的には、sin 75°, sin 15°, cos 105°, cos 165°, tan 195° の値を計算します。加法定理や三角関数の性質を利用して計算します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値を求めます。具体的には、sin 75°, sin 15°, cos 105°, cos 165°, tan 195° の値を計算します。加法定理や三角関数の性質を利用して計算します。

2. 解き方の手順

(1) sin 75°

75° = 45° + 30°として加法定理を利用します。

$sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB$

$sin 75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°$

$sin 75° = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

(2) sin 15°

15° = 45° - 30°として加法定理を利用します。

$sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB$

$sin 15° = sin(45° - 30°) = sin45°cos30° - cos45°sin30°$

$sin 15° = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(3) cos 105°

105° = 60° + 45°として加法定理を利用します。

$cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB$

$cos 105° = cos(60° + 45°) = cos60°cos45° - sin60°sin45°$

$cos 105° = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(4) cos 165°

165° = 120° + 45°として加法定理を利用します。

$cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB$

$cos 165° = cos(120° + 45°) = cos120°cos45° - sin120°sin45°$

$cos 165° = (-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) - (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(5) tan 195°

195° = 180° + 15°と考えます。tan(180° + x) = tan xなので、

$tan 195° = tan 15°$

$tan 15° = \frac{sin 15°}{cos 15°}$

$cos 15° = cos(45° - 30°) = cos45°cos30° + sin45°sin30° = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$tan 15° = \frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

有理化すると、

$tan 15° = \frac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) sin 75° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

(2) sin 15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(3) cos 105° = $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(4) cos 165° = $\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

(5) tan 195° = $2 - \sqrt{3}$