媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = e^{\theta} \cos{\theta}$, $y = e^{\theta} \sin{\theta}$ ($0 \le \theta \le \pi$) の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = e^{\theta} \cos{\theta}$, $y = e^{\theta} \sin{\theta}$ ($0 \le \theta \le \pi$) の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を $\theta$ で微分します。

$\frac{dx}{d\theta} = e^{\theta} \cos{\theta} - e^{\theta} \sin{\theta} = e^{\theta} (\cos{\theta} - \sin{\theta})$

$\frac{dy}{d\theta} = e^{\theta} \sin{\theta} + e^{\theta} \cos{\theta} = e^{\theta} (\sin{\theta} + \cos{\theta})$

次に、$\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2}$ を計算します。

$\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} = \sqrt{[e^{\theta}(\cos{\theta} - \sin{\theta})]^2 + [e^{\theta}(\sin{\theta} + \cos{\theta})]^2}$

$= \sqrt{e^{2\theta} (\cos^2{\theta} - 2\cos{\theta}\sin{\theta} + \sin^2{\theta}) + e^{2\theta} (\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta})}$

$= \sqrt{e^{2\theta} (2\sin^2{\theta} + 2\cos^2{\theta})}$

$= \sqrt{2e^{2\theta}} = \sqrt{2}e^{\theta}$

曲線の長さ $L$ は、積分で計算できます。

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2} d\theta = \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}e^{\theta} d\theta$

$= \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} e^{\theta} d\theta = \sqrt{2} [e^{\theta}]_{0}^{\pi} = \sqrt{2} (e^{\pi} - e^{0})$

$= \sqrt{2} (e^{\pi} - 1)$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}(e^{\pi} - 1)$