すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ が成り立つような実数 $k$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $k$ について解きます。$x$ は正の実数なので、$\sqrt{x+1} > 0$ であることに注意して両辺を $\sqrt{x+1}$ で割ると、

$k \ge \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+1}} = \sqrt{\frac{x+2}{x+1}} = \sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$

となります。この不等式がすべての正の実数 $x$ について成り立つような $k$ の最小値を求めるには、$f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ の最大値を求める必要があります。

$x$ が正の実数の範囲で変化するとき、$x+1$ は $1$ より大きい値をとり、$\frac{1}{x+1}$ は $0$ より大きく $1$ より小さい値をとり、$1+\frac{1}{x+1}$ は $1$ より大きく $2$ より小さい値をとり、$f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ は $1$ より大きく $\sqrt{2}$ より小さい値を持ちます。

$x$ が正の実数であるとき、$x+1$ は $1$ より大きいので、$\frac{1}{x+1}$ は $0$ に近づくことができます。したがって、$x \to \infty$ のとき、$f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{x+1}} \to \sqrt{1+0} = 1$ となります。

一方、$x \to 0$ のとき、$f(x) = \sqrt{1+\frac{1}{x+1}} \to \sqrt{1+\frac{1}{0+1}} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ となります。

関数 $f(x)$ は、$x>0$ において単調減少関数です。なぜなら、$x$ が大きくなるほど $\frac{1}{x+1}$ は小さくなるため、$1+\frac{1}{x+1}$ も小さくなり、その平方根も小さくなるからです。

したがって、$f(x)$ の最大値は $x \to 0$ のときの値 $\sqrt{2}$ に近づきます。不等式 $\sqrt{x+2} \le k\sqrt{x+1}$ がすべての正の実数 $x$ について成り立つためには、$k \ge \sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ がすべての正の実数 $x$ で成り立つ必要があり、この不等式を満たす最小の $k$ は、$\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ の上限に等しくなります。$x$ が正の実数の範囲を動くとき、$\sqrt{1+\frac{1}{x+1}}$ は $\sqrt{2}$ に限りなく近づきますが、$\sqrt{2}$ を超えることはありません。したがって、$\sqrt{2}$ が上限となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$