与えられた媒介変数表示 $x = e^\theta \cos \theta$、$y = e^\theta \sin \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) で表される曲線の長さを求める問題です。途中の計算として $\frac{dx}{d\theta}$、$\frac{dy}{d\theta}$ が与えられており、それらを用いて曲線の長さを表す積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた媒介変数表示 $x = e^\theta \cos \theta$、$y = e^\theta \sin \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) で表される曲線の長さを求める問題です。途中の計算として $\frac{dx}{d\theta}$、$\frac{dy}{d\theta}$ が与えられており、それらを用いて曲線の長さを表す積分を計算します。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次の式で計算できます。

$$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$$

まず、$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2$ を計算します。

$\frac{dx}{d\theta} = e^\theta (\cos \theta - \sin \theta)$、$\frac{dy}{d\theta} = e^\theta (\sin \theta + \cos \theta)$ より、

\begin{align*}

\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 &= \left(e^\theta (\cos \theta - \sin \theta)\right)^2 + \left(e^\theta (\sin \theta + \cos \theta)\right)^2 \\

&= e^{2\theta} (\cos^2 \theta - 2\cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) + e^{2\theta} (\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) \\

&= e^{2\theta} (1 - 2\cos \theta \sin \theta) + e^{2\theta} (1 + 2\sin \theta \cos \theta) \\

&= e^{2\theta} (1+1) \\

&= 2e^{2\theta}

\end{align*}

したがって、

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{2e^{2\theta}} = \sqrt{2}e^{\theta}$$

これを積分します。

\begin{align*}

L &= \int_{0}^{\pi} \sqrt{2}e^{\theta} \, d\theta \\

&= \sqrt{2} \int_{0}^{\pi} e^{\theta} \, d\theta \\

&= \sqrt{2} \left[ e^{\theta} \right]_{0}^{\pi} \\

&= \sqrt{2} (e^{\pi} - e^{0}) \\

&= \sqrt{2} (e^{\pi} - 1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}(e^{\pi} - 1)$