媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = e^\theta \cos \theta$, $y = e^\theta \sin \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ で表された曲線 $x = e^\theta \cos \theta$, $y = e^\theta \sin \theta$ ($0 \le \theta \le \pi$) の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、次の式で計算できます。

$$l = \int_0^\pi \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta$$

まず、$\frac{dx}{d\theta}$ と $\frac{dy}{d\theta}$ を計算します。

$$\frac{dx}{d\theta} = e^\theta \cos \theta - e^\theta \sin \theta = e^\theta (\cos \theta - \sin \theta)$$

$$\frac{dy}{d\theta} = e^\theta \sin \theta + e^\theta \cos \theta = e^\theta (\sin \theta + \cos \theta)$$

次に、$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2$ を計算します。

\begin{align*} \left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 &= \left[e^\theta (\cos \theta - \sin \theta)\right]^2 + \left[e^\theta (\sin \theta + \cos \theta)\right]^2 \\ &= e^{2\theta} (\cos^2 \theta - 2 \cos \theta \sin \theta + \sin^2 \theta) + e^{2\theta} (\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta) \\ &= e^{2\theta} (2\cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta) \\ &= 2e^{2\theta} \end{align*}

したがって、

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} = \sqrt{2e^{2\theta}} = \sqrt{2} e^\theta$$

曲線の長さは次のようになります。

\begin{align*} l &= \int_0^\pi \sqrt{2} e^\theta d\theta \\ &= \sqrt{2} \int_0^\pi e^\theta d\theta \\ &= \sqrt{2} \left[e^\theta\right]_0^\pi \\ &= \sqrt{2} (e^\pi - e^0) \\ &= \sqrt{2} (e^\pi - 1) \end{align*}

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}(e^\pi - 1)$