関数 $y = \sqrt{\log x}$ （ただし、対数の底はネイピア数 $e$）と $x$軸、$x = 1$、$x = e$ で囲まれた領域を $y$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めます。図から、回転体は円板を積み重ねた形をしており、$V = \pi \int_{1}^{e} (\sqrt{\log x})^2 dx$ と表すことができます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{\log x}$ （ただし、対数の底はネイピア数 $e$）と $x$軸、$x = 1$、$x = e$ で囲まれた領域を $y$軸の周りに回転させてできる立体の体積 $V$ を求めます。図から、回転体は円板を積み重ねた形をしており、$V = \pi \int_{1}^{e} (\sqrt{\log x})^2 dx$ と表すことができます。

2. 解き方の手順

まず、体積の式を整理します。

$V = \pi \int_{1}^{e} (\sqrt{\log x})^2 dx = \pi \int_{1}^{e} \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を部分積分で計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

よって、部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ より、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int dx = x \log x - x + C$

したがって、

$\int_{1}^{e} \log x dx = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$

最後に、体積 $V$ を求めます。

$V = \pi \int_{1}^{e} \log x dx = \pi \cdot 1 = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$