$y = e^x$、$x = 1$、$x = 2$ で囲まれた領域をx軸の周りに回転させたときの回転体の体積$V$を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = e^x$、$x = 1$、$x = 2$ で囲まれた領域をx軸の周りに回転させたときの回転体の体積$V$を求める問題です。

2. 解き方の手順

回転体の体積$V$は、円盤法を用いて計算できます。

$V = \pi \int_1^2 (e^x)^2 dx$

積分を計算します。

$V = \pi \int_1^2 e^{2x} dx$

$e^{2x}$の不定積分は$\frac{1}{2}e^{2x}$なので、

$V = \pi \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_1^2$

積分範囲の端点を代入して計算します。

$V = \pi \left( \frac{1}{2}e^{2(2)} - \frac{1}{2}e^{2(1)} \right)$

$V = \pi \left( \frac{1}{2}e^4 - \frac{1}{2}e^2 \right)$

$V = \frac{\pi}{2} (e^4 - e^2)$

3. 最終的な答え

$V = \frac{\pi}{2} (e^4 - e^2)$