底から $x$ cm の高さにある平面で切ったときの断面が、1辺 $x$ cm の正三角形となる容器がある。この容器の深さが3cmのとき、この容器の容積を求める。

1. 問題の内容

底から $x$ cm の高さにある平面で切ったときの断面が、1辺 $x$ cm の正三角形となる容器がある。この容器の深さが3cmのとき、この容器の容積を求める。

2. 解き方の手順

容器の底から $x$ cmの高さにある断面の面積 $S(x)$ は、一辺が $x$ cm の正三角形の面積であるから、

$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$ となる。

容器の深さが3cmなので、容器の容積$V$は、この断面の面積を0から3まで積分することで求められる。

$V = \int_0^3 S(x) dx = \int_0^3 \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 dx$

$= \frac{\sqrt{3}}{4} \int_0^3 x^2 dx = \frac{\sqrt{3}}{4} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{1}{3} \cdot 3^3 - 0 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{27}{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^3$