定積分 $\int_{0}^{1} (3x+1)^4 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (3x+1)^4 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$u = 3x+1$ と置換すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

したがって、

$\int (3x+1)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{15} u^5 + C = \frac{1}{15} (3x+1)^5 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (3x+1)^4 dx = \left[ \frac{1}{15} (3x+1)^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{15} (3(1)+1)^5 - \frac{1}{15} (3(0)+1)^5 = \frac{1}{15} (4^5 - 1^5) = \frac{1}{15} (1024 - 1) = \frac{1023}{15} = \frac{341}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{341}{5}$