以下の3つの関数の不定積分を求めます。 (1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$ (2) $\frac{x}{(x-1)^3}$ (3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$

はい、承知いたしました。画像の3つの問題の不定積分を求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの関数の不定積分を求めます。

(1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$

(2) $\frac{x}{(x-1)^3}$

(3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$

2. 解き方の手順

(1) $e^x \sqrt{e^x + 1}$

置換積分を行います。$u = e^x + 1$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int e^x \sqrt{e^x + 1} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du$

$\int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $\frac{x}{(x-1)^3}$

置換積分を行います。$u = x-1$ とおくと、$x = u+1$ となり、$dx = du$ となります。したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{x}{(x-1)^3} dx = \int \frac{u+1}{u^3} du = \int (u^{-2} + u^{-3}) du$

$\int (u^{-2} + u^{-3}) du = -u^{-1} - \frac{1}{2} u^{-2} + C = -\frac{1}{u} - \frac{1}{2u^2} + C$

$= -\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^2} + C$

(3) $\frac{x}{x^2 - 3x + 2}$

部分分数分解を行います。$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ と因数分解できるので、

$\frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$ とおきます。

$x = A(x-2) + B(x-1)$

$x = (A+B)x - 2A - B$

$A+B = 1$

$-2A - B = 0$

2つの式を足すと、$-A = 1$ より $A = -1$。$B = 1 - A = 1 - (-1) = 2$。したがって、

$\frac{x}{x^2 - 3x + 2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2}$ となります。

$\int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx = \int (\frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2}) dx = -\int \frac{1}{x-1} dx + 2\int \frac{1}{x-2} dx$

$= - \ln|x-1| + 2\ln|x-2| + C = \ln\frac{(x-2)^2}{|x-1|} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3} (e^x + 1)^{\frac{3}{2}} + C$

(2) $-\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2(x-1)^2} + C$

(3) $\ln\frac{(x-2)^2}{|x-1|} + C$