次の定積分を求めます。 $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x \, dx$$

## 2(1) 定積分の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^5 x \cos x \, dx$$

2. 解き方の手順

この積分は、置換積分を用いて解くことができます。

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$ となります。

積分の範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$ であり、

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$ です。

したがって、積分は次のようになります。

$$\int_{0}^{1} u^5 \, du$$

これは簡単に積分できます。

$$\int_{0}^{1} u^5 \, du = \left[ \frac{u^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{6}$$