次の3次方程式を解く問題です。 (1) $x^3 - 8 = 0$ (2) $x^3 + 1 = 0$

1. 問題の内容

次の3次方程式を解く問題です。

(1) $x^3 - 8 = 0$

(2) $x^3 + 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 8 = 0$ を解きます。

$x^3 = 8$

$x^3 = 2^3$

$x^3 - 2^3 = 0$

$(x-2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

したがって、$x = 2$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$

$x^2 + 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}$

(2) $x^3 + 1 = 0$ を解きます。

$x^3 = -1$

$x^3 + 1 = 0$

$(x+1)(x^2 - x + 1) = 0$

したがって、$x = -1$ または $x^2 - x + 1 = 0$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解の公式で解くと

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1 + i\sqrt{3}, -1 - i\sqrt{3}$

(2) $x = -1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$