0, 1, 2, 3, 4 の5枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作ります。そのとき、作られる整数のうち、偶数の個数、奇数の個数、3の倍数の個数、6の倍数の個数、9の倍数の個数、4の倍数の個数をそれぞれ求めます。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の5枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作ります。そのとき、作られる整数のうち、偶数の個数、奇数の個数、3の倍数の個数、6の倍数の個数、9の倍数の個数、4の倍数の個数をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、3桁の整数が作れる条件を確認します。百の位は0以外の数字である必要があります。

(ア) 偶数の個数

3桁の整数が偶数であるためには、一の位が0, 2, 4のいずれかである必要があります。

- 一の位が0の場合：

百の位は1, 2, 3, 4のいずれかから選ぶことができるので、4通りあります。十の位は残りの3つの数字から選ぶことができるので、3通りあります。よって、$4 \times 3 = 12$ 個です。

- 一の位が2または4の場合：

一の位が2または4なので、2通りあります。百の位は0と一の位の数字以外の3つの数字から選ぶことができるので、3通りあります。十の位は残りの3つの数字から選ぶことができるので、3通りあります。よって、$2 \times 3 \times 3 = 18$ 個です。

したがって、偶数の個数は $12 + 18 = 30$ 個です。

(イ) 奇数の個数

3桁の整数が奇数であるためには、一の位が1または3である必要があります。

一の位が1または3なので、2通りあります。百の位は0と一の位の数字以外の3つの数字から選ぶことができるので、3通りあります。十の位は残りの3つの数字から選ぶことができるので、3通りあります。よって、$2 \times 3 \times 3 = 18$ 個です。

(ウ) 3の倍数の個数

3の倍数となるためには、各桁の数字の和が3の倍数になる必要があります。

取りうる組み合わせは以下の通りです。

- (0, 1, 2): この組み合わせで作れる3桁の整数は、4通りです (102, 120, 201, 210)。

- (0, 2, 4): この組み合わせで作れる3桁の整数は、4通りです (204, 240, 402, 420)。

- (1, 2, 3): この組み合わせで作れる3桁の整数は、6通りです (123, 132, 213, 231, 312, 321)。

- (2, 3, 4): この組み合わせで作れる3桁の整数は、6通りです (234, 243, 324, 342, 423, 432)。

- (0, 3, 3) これは有り得ません。

したがって、3の倍数の個数は $4 + 4 + 6 + 6 = 20$ 個です。

(エ) 6の倍数の個数

6の倍数となるためには、3の倍数であり、かつ偶数である必要があります。

上記の3の倍数のうち、偶数であるものは、

- (0, 1, 2)から作られるのは 120, 210, 102, 201 のうち 120, 210, 102。

- (0, 2, 4)から作られるのは 204, 402, 240, 420。

- (1, 2, 3)から作られるのは 132, 312, 321, 123, 213, 231 のうち 132, 312, 123, 213。

- (2, 3, 4)から作られるのは 234, 243, 324, 342, 423, 432 のうち 234, 324, 342, 432。

(0, 1, 2) : 120, 210, 102

(0, 2, 4) : 204, 240, 402, 420

(1, 2, 3) : 132, 312, 321, 123

(2, 3, 4) : 234, 324, 342, 432

6の倍数 = 2の倍数 且つ 3の倍数

上記の組み合わせで、各位の和が３の倍数で、一の位が偶数となるものを数える

(0,1,2) : 3個

(0,2,4) : 4個

(1,2,3) : 2個

(2,3,4) : 4個

よって 3 + 4 + 2 + 4 = 13個

(オ) 9の倍数の個数

9の倍数となるためには、各桁の数字の和が9の倍数になる必要があります。取りうる組み合わせは(2, 3, 4)のみで、2+3+4=9なので、この組み合わせで作れる3桁の整数は6通りです (234, 243, 324, 342, 423, 432)。

(カ) 4の倍数の個数

4の倍数となるためには、下2桁が4の倍数である必要があります。考えられる3桁の整数は以下の通りです。

1) 下2桁が04: 104, 204, 304, 404は作れません。

2) 下2桁が12: 312, 412

3) 下2桁が20: 120, 320, 420

4) 下2桁が24: 124, 324

5) 下2桁が32: 132, 432

6) 下2桁が40: 140, 240, 340

7) 下2桁が00: 作れません。

したがって、4の倍数の個数は2 + 3 + 2 + 2 + 3 = 12個です。

3. 最終的な答え

ア: 30個

イ: 18個

ウ: 20個

エ: 13個

オ: 6個

カ: 12個