与えられた4つの関数の逆関数を求める問題です。 (1) $y = 2x + 3$ (2) $y = x^2 - 1$ ($x \geq 0$) (3) $y = \frac{1}{x+3}$ (4) $y = \sqrt{2-x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数の逆関数を求める問題です。

(1) $y = 2x + 3$

(2) $y = x^2 - 1$ ($x \geq 0$)

(3) $y = \frac{1}{x+3}$

(4) $y = \sqrt{2-x}$

2. 解き方の手順

逆関数を求めるには、まず $x$ と $y$ を入れ替え、その後 $y$ について解きます。

(1)

1. $x$ と $y$ を入れ替える: $x = 2y + 3$

2. $y$ について解く: $2y = x - 3$

$y = \frac{x - 3}{2}$

(2)

1. $x$ と $y$ を入れ替える: $x = y^2 - 1$

2. $y$ について解く: $y^2 = x + 1$

$y = \pm \sqrt{x + 1}$

ここで、$x \geq 0$ より、元の関数$y = x^2 - 1$ の値域は$y \geq -1$となります。

逆関数の定義域は元の関数の値域であるため、$x \geq -1$となります。

また元の関数の定義域 $x \geq 0$より逆関数の値域$y \geq 0$となります。

したがって、$y = \sqrt{x + 1}$

(3)

1. $x$ と $y$ を入れ替える: $x = \frac{1}{y + 3}$

2. $y$ について解く: $x(y + 3) = 1$

$xy + 3x = 1$

$xy = 1 - 3x$

$y = \frac{1 - 3x}{x}$

$y = \frac{1}{x} - 3$

(4)

1. $x$ と $y$ を入れ替える: $x = \sqrt{2 - y}$

2. $y$ について解く: $x^2 = 2 - y$

$y = 2 - x^2$

ここで、$y = \sqrt{2 - x}$の値域は、$y \geq 0$であるため、逆関数の定義域は$x \geq 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x - 3}{2}$

(2) $y = \sqrt{x + 1}$

(3) $y = \frac{1}{x} - 3$

(4) $y = 2 - x^2$ ($x \geq 0$)