## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題243の中から、以下の問題を解きます。

(1) $b=12, A=75^\circ, C=60^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めよ。

(2) $a=4, b=\sqrt{37}, c=7$ のとき、$B$ を求めよ。

(3) $b=12, B=45^\circ, C=120^\circ$ のとき、$c$ を求めよ。

(4) $a=5\sqrt{2}, b=6, C=45^\circ$ のとき、$c$ を求めよ。

(5) $b=3, c=\sqrt{7}, \cos A = \frac{2}{\sqrt{7}}$ のとき、$a$ を求めよ。

(6) $c=5\sqrt{2}, A=30^\circ, B=15^\circ$ のとき、$a$ を求めよ。

(7) $a=8\sqrt{3}$, 外接円の半径 $R=8$ のとき、$A$ を求めよ。

(8) $a=2, c=3\sqrt{3}, B=150^\circ$ のとき、$b$ を求めよ。

(9) $a=5, b=3, c=\sqrt{14}$ のとき、$\cos C$ を求めよ。

(10) $c=8, A=75^\circ, C=45^\circ$ のとき、$b$ を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1) 外接円の半径 R**

* 三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$

* 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = 2R$

* $R = \frac{b}{2\sin B} = \frac{12}{2\sin 45^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$

**(2) 角 B**

* 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

* $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 7^2 - (\sqrt{37})^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16 + 49 - 37}{56} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

* $B = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

**(3) 辺 c**

* 三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 120^\circ = 15^\circ$

* 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

* $c = \frac{b \sin C}{\sin B} = \frac{12 \sin 120^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{6}$

**(4) 辺 c**

* 余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

* $c^2 = (5\sqrt{2})^2 + 6^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 6 \cdot \cos 45^\circ = 50 + 36 - 60\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 86 - 60 = 26$

* $c = \sqrt{26}$

**(5) 辺 a**

* 余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

* $a^2 = 3^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}} = 9 + 7 - 12 = 4$

* $a = 2$

**(6) 辺 a**

* 三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 15^\circ = 135^\circ$

* 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

* $a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{5\sqrt{2} \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5$

**(7) 角 A**

* 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$

* $\sin A = \frac{a}{2R} = \frac{8\sqrt{3}}{2 \cdot 8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $A = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 60^\circ$ または $120^\circ$

**(8) 辺 b**

* 余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

* $b^2 = 2^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos 150^\circ = 4 + 27 - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 31 + 18 = 49$

* $b = 7$

**(9) cos C**

* 余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

* $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 3^2 - (\sqrt{14})^2}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{25 + 9 - 14}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

**(10) 辺 b**

* 三角形の内角の和は $180^\circ$ なので、$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

* 正弦定理より、$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

* $b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{8 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6}$

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3. 最終的な答え

(1) $R = 6\sqrt{2}$

(2) $B = 60^\circ$

(3) $c = 6\sqrt{6}$

(4) $c = \sqrt{26}$

(5) $a = 2$

(6) $a = 5$

(7) $A = 60^\circ$ または $120^\circ$

(8) $b = 7$

(9) $\cos C = \frac{2}{3}$

(10) $b = 4\sqrt{6}$