(1) $x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(2,1)$を通る円の方程式を求める。 (2) 中心が直線$2x - y - 8 = 0$上にあり、2点$(0,2)$, $(-1,1)$を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) $x$軸と$y$軸の両方に接し、点$(2,1)$を通る円の方程式を求める。

(2) 中心が直線$2x - y - 8 = 0$上にあり、2点$(0,2)$, $(-1,1)$を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x$軸と$y$軸の両方に接する円の中心は$(r, r)$または$(r, -r)$または$(-r, r)$または$(-r, -r)$と表せる（$r$は円の半径）。点$(2, 1)$を通ることから、中心は第1象限にあると考えられるので、中心の座標を$(r, r)$とおく。

円の方程式は$(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$と表せる。

点$(2, 1)$を通るので、$(2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2$が成り立つ。

これを展開して整理すると、$4 - 4r + r^2 + 1 - 2r + r^2 = r^2$

$r^2 - 6r + 5 = 0$

$(r-1)(r-5) = 0$

$r = 1, 5$

したがって、円の方程式は$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$または$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2)

円の中心の座標を$(a,b)$とおくと、中心は直線$2x - y - 8 = 0$上にあるので、$2a - b - 8 = 0$、つまり$b = 2a - 8$が成り立つ。

よって、中心の座標は$(a, 2a-8)$と表せる。

円の方程式は$(x-a)^2 + (y-(2a-8))^2 = r^2$と表せる。

この円が点$(0, 2)$と点$(-1, 1)$を通るので、

$(0-a)^2 + (2-(2a-8))^2 = r^2$

$(-1-a)^2 + (1-(2a-8))^2 = r^2$

$a^2 + (10-2a)^2 = r^2$

$(-1-a)^2 + (9-2a)^2 = r^2$

よって、$a^2 + (10-2a)^2 = (-1-a)^2 + (9-2a)^2$

$a^2 + 100 - 40a + 4a^2 = 1 + 2a + a^2 + 81 - 36a + 4a^2$

$5a^2 - 40a + 100 = 5a^2 - 34a + 82$

$-40a + 100 = -34a + 82$

$18 = 6a$

$a = 3$

$b = 2a - 8 = 2(3) - 8 = 6 - 8 = -2$

中心は$(3, -2)$

$r^2 = (0-3)^2 + (2-(-2))^2 = 9 + 16 = 25$

よって、円の方程式は$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$ または $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

(2) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$