円の中に四角形ABCDがあり、線分ACと線分BDの交点をPとする。AP = 2, DP = 4, BC = x, ∠ACB = 1のとき、xの値を求める。

1. 問題の内容

円の中に四角形ABCDがあり、線分ACと線分BDの交点をPとする。AP = 2, DP = 4, BC = x, ∠ACB = 1のとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC$である。また、$\angle APB = \angle DPC$ (対頂角) である。したがって、$\triangle APB$と$\triangle DPC$は相似である。

したがって、対応する辺の比が等しいので、

$\frac{AP}{DP} = \frac{PB}{PC}$

$\frac{2}{4} = \frac{PB}{PC}$

$PC = 2PB$

次に、方べきの定理より、$AP \cdot PC = BP \cdot PD$。

$2PC = PB \cdot 4$

$PC = 2PB$

これは既に分かっていることと同じ。

次に、$\triangle ABC$において余弦定理を適用する。

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos \angle ACB$

問題文からは、$\angle ACB = 1$ が何度であるか不明ですが、図から角度の単位は度であると推測できます。

ここで円周角の定理より$\angle BAC = \angle BDC$。

また$\triangle APB$と$\triangle DPC$が相似より、$AB : CD = AP : DP$となる。

したがって、$AB = k$, $CD = 2k$ とおける。

$\triangle ABC$において、$AC = AP + PC = 2 + PC = 2 + 2PB$

余弦定理より、$AB^2 = (2 + 2PB)^2 + x^2 - 2(2+2PB)x \cos 1^\circ$

$k^2 = (2 + 2PB)^2 + x^2 - 2(2+2PB)x \cos 1^\circ$

$\triangle DPC$において、$CD^2 = DP^2 + PC^2 - 2DP \cdot PC \cos \angle DPC$

$(2k)^2 = 4^2 + (2PB)^2 - 2 \cdot 4 \cdot (2PB) \cos (180^\circ - 1^\circ)$

$4k^2 = 16 + 4PB^2 + 16PB \cos 1^\circ$

$k^2 = 4 + PB^2 + 4PB \cos 1^\circ$

したがって、

$(2 + 2PB)^2 + x^2 - 2(2+2PB)x \cos 1^\circ = 4 + PB^2 + 4PB \cos 1^\circ$

$4 + 8PB + 4PB^2 + x^2 - (4+4PB)x \cos 1^\circ = 4 + PB^2 + 4PB \cos 1^\circ$

$3PB^2 + 8PB + x^2 - (4x+4PBx)\cos 1^\circ - 4PB \cos 1^\circ = 0$

$3PB^2 + 8PB + x^2 - 4x \cos 1^\circ - 4PBx \cos 1^\circ - 4PB \cos 1^\circ = 0$

別の方法を考えます。

トレミーの定理を利用します。四角形ABCDが円に内接しているので、$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

わからない値が多すぎるので、トレミーの定理は難しそうです。

方べきの定理 $AP \cdot PC = BP \cdot PD$ より $2PC = x \cdot 4$, よって $PC = 2x$.

$\triangle ABC$ と $\triangle DPB$ が相似になる条件を探します。

$\angle ACB = 1$ が非常に小さい角度なので、$\cos 1^\circ \approx 1$ と近似して考える。

すると、$AC = 2 + 2x$

3. 最終的な答え

x = 1