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三角関数の相互関係を用いて、以下の問題を解く。 (1) $\theta$ が鋭角で、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ を求める。 (2) $\theta$ が第4象限の角で、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ を求める。 (3) $\theta$ が第3象限の角で、$\tan \theta = \frac{4}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\sin \theta$ を求める。

幾何学三角関数三角比相互関係象限
2025/8/6

1. 問題の内容

三角関数の相互関係を用いて、以下の問題を解く。
(1) θ\theta が鋭角で、sin⁡θ=23\sin \theta = \frac{2}{3} のとき、cos⁡θ\cos \theta と tan⁡θ\tan \theta を求める。
(2) θ\theta が第4象限の角で、cos⁡θ=14\cos \theta = \frac{1}{4} のとき、sin⁡θ\sin \theta と tan⁡θ\tan \theta を求める。
(3) θ\theta が第3象限の角で、tan⁡θ=43\tan \theta = \frac{4}{3} のとき、cos⁡θ\cos \theta と sin⁡θ\sin \theta を求める。

2. 解き方の手順

(1) θ\theta が鋭角で、sin⁡θ=23\sin \theta = \frac{2}{3} のとき
三角関数の相互関係 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、
cos⁡2θ=1−sin⁡2θ=1−(23)2=1−49=59\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}
θ\theta が鋭角なので、cos⁡θ>0\cos \theta > 0。 よって、
cos⁡θ=59=53\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2353=25=255\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
(2) θ\theta が第4象限の角で、cos⁡θ=14\cos \theta = \frac{1}{4} のとき
三角関数の相互関係 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 より、
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ=1−(14)2=1−116=1516\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}
θ\theta が第4象限の角なので、sin⁡θ<0\sin \theta < 0。 よって、
sin⁡θ=−1516=−154\sin \theta = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−15414=−15\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15}
(3) θ\theta が第3象限の角で、tan⁡θ=43\tan \theta = \frac{4}{3} のとき
三角関数の相互関係 1+tan⁡2θ=1cos⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} より、
1cos⁡2θ=1+(43)2=1+169=259\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}
cos⁡2θ=925\cos^2 \theta = \frac{9}{25}
θ\theta が第3象限の角なので、cos⁡θ<0\cos \theta < 0。 よって、
cos⁡θ=−925=−35\cos \theta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} より、
sin⁡θ=tan⁡θcos⁡θ=43⋅(−35)=−45\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{4}{5}

3. 最終的な答え

(1) cos⁡θ=53\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}, tan⁡θ=255\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}
(2) sin⁡θ=−154\sin \theta = -\frac{\sqrt{15}}{4}, tan⁡θ=−15\tan \theta = -\sqrt{15}
(3) cos⁡θ=−35\cos \theta = -\frac{3}{5}, sin⁡θ=−45\sin \theta = -\frac{4}{5}

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