2地点A, Bが400m離れており、AとBから川を挟んだ反対側にある地点Cがある。 $\angle BAC = 105^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$であるとき、A, C間の距離を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

**練習22**

1. 問題の内容

2地点A, Bが400m離れており、AとBから川を挟んだ反対側にある地点Cがある。

$\angle BAC = 105^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$であるとき、A, C間の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACB$を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 105^\circ - 30^\circ = 45^\circ$

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$

$AB = 400$m, $\angle ACB = 45^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$を用いて$AC$を求める。

$\frac{400}{\sin(45^\circ)} = \frac{AC}{\sin(30^\circ)}$

$AC = \frac{400 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{400 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{400}{\sqrt{2}} = 200\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$AC = 200\sqrt{2}$ m