放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上に点A, Bがあり、それぞれのx座標は-6, 3である。点Cは直線ABとy軸の交点である。 △AOBの面積を2等分する直線の式を、原点Oを通る場合、点Bを通る場合、点Cを通る場合について求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{3}x^2$ 上に点A, Bがあり、それぞれのx座標は-6, 3である。点Cは直線ABとy軸の交点である。

△AOBの面積を2等分する直線の式を、原点Oを通る場合、点Bを通る場合、点Cを通る場合について求める。

2. 解き方の手順

(1) 原点Oを通る場合

△AOBの面積を2等分する直線は、線分ABの中点を通る。

点Aの座標は、x=-6を $y = \frac{1}{3}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{3}(-6)^2 = \frac{1}{3}(36) = 12$ より、A(-6, 12)。

点Bの座標は、x=3を $y = \frac{1}{3}x^2$ に代入して、$y = \frac{1}{3}(3)^2 = \frac{1}{3}(9) = 3$ より、B(3, 3)。

線分ABの中点Mの座標は、

$(\frac{-6+3}{2}, \frac{12+3}{2}) = (-\frac{3}{2}, \frac{15}{2})$

原点Oと点Mを通る直線の式は、$y = ax$ とおいて、$\frac{15}{2} = a(-\frac{3}{2})$ より、$a = -5$。

よって、$y = -5x$。

(2) 点Bを通る場合

△AOBの面積を2等分する直線は、線分AOの中点を通る。

点Aの座標はA(-6, 12)であるから、線分AOの中点Nの座標は$(\frac{-6+0}{2}, \frac{12+0}{2}) = (-3, 6)$

点B(3, 3)と点N(-3, 6)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

$3 = 3a + b$

$6 = -3a + b$

2式を足し合わせると、$9 = 2b$ より、$b = \frac{9}{2}$。

$3 = 3a + \frac{9}{2}$ より、$3a = 3 - \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$ だから、$a = -\frac{1}{2}$

よって、$y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$

(3) 点Cを通る場合

まず直線ABの式を求める。

$y = ax + b$ とおくと、

$12 = -6a + b$

$3 = 3a + b$

2式を引き算すると、$9 = -9a$ より、$a = -1$

$3 = 3(-1) + b$ より、$b = 6$

したがって、直線ABの式は $y = -x + 6$

点Cは直線ABとy軸との交点なので、x=0を代入して $y = -0 + 6 = 6$ より、C(0, 6)

△AOBの面積を2等分する直線は、線分BOの中点を通る。

点Bの座標はB(3, 3)であるから、線分BOの中点Pの座標は$(\frac{3+0}{2}, \frac{3+0}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

点C(0, 6)と点P($\frac{3}{2}, \frac{3}{2}$)を通る直線の式を $y = ax + b$ とおく。

C(0, 6)を通るので、$b=6$

$\frac{3}{2} = a(\frac{3}{2}) + 6$ より、$\frac{3}{2}a = \frac{3}{2} - 6 = -\frac{9}{2}$ だから、$a = -3$

よって、$y = -3x + 6$

3. 最終的な答え

(1) 原点Oを通る場合：$y = -5x$

(2) 点Bを通る場合：$y = -\frac{1}{2}x + \frac{9}{2}$

(3) 点Cを通る場合：$y = -3x + 6$