図のように、正三角形ABCの辺AB上に点Dを、辺BC上に点Eをとり、$\angle CDE = 60^\circ$となるようにとる。このとき、$\triangle ADC \sim \triangle BED$であることを証明する。

1. 問題の内容

図のように、正三角形ABCの辺AB上に点Dを、辺BC上に点Eをとり、$\angle CDE = 60^\circ$となるようにとる。このとき、$\triangle ADC \sim \triangle BED$であることを証明する。

2. 解き方の手順

$\triangle ADC$と$\triangle BED$において、相似であることを示すために、2組の角がそれぞれ等しいことを示す。

(1) $\triangle ABC$は正三角形なので、

$\angle BAC = \angle ABC = 60^\circ$

したがって、

$\angle D B E = 60^\circ$ ...(1)

(2) 直線ABにおいて、仮定より$\angle CDE = 60^\circ$なので、

$\angle A D C = 180^\circ - \angle B D C$

$\angle B D C = 180^\circ - \angle A D B - \angle C D E = 180^\circ - 60^\circ - \angle C D E = 180^\circ - 60^\circ - \angle C D B = 180^\circ - \angle A D B - \angle C D E = 120^\circ$

$\angle A D B = 180^\circ - \angle A - \angle D B C$

$\angle A D C = 180^\circ - \angle B D E = 180^\circ - 60^\circ$

$\angle B D E = 180^\circ - \angle C D E = 180^\circ - 60^\circ - \angle B E D$

$\angle B E D= 180^\circ - \angle D B E - \angle B D E$

$\angle A D C = 180^\circ - \angle C D E = 120^\circ$

$\angle B E D = 180^\circ - 60^\circ - \angle A C D$

$\angle A C D= 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle B E D = \angle D B C = 60^\circ$

(3) $\triangle BED$において、$\angle CDE = 60^\circ$なので、

$\angle B E D = 180^\circ - \angle D B E - \angle B D E = 180^\circ - 60^\circ - \angle B D E$

$\angle B D E= 180^\circ - \angle B E D - \angle D B E = 180^\circ - \angle B E D - 60^\circ = 180^\circ - \angle B E D - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle A D C = 60^\circ$

(4) (1), (2)より、2組の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ADC \sim \triangle BED$

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 60^\circ$, $\angle A D B$, $\angle A D C$, $\angle B E D$

$\angle ADC = \angle BED$

したがって、$\triangle ADC \sim \triangle BED$