問題1は、三角形ABCの面積Sを求める問題です。 (1)では、$|AB|=2$, $|AC|=3$, $AB \cdot AC = 1$のとき、$S=1$を求めます。 (2)では、A(1,0), B(3,1), C(5,4)のとき、$S=2$を求めます。 問題2は、点P(a, -1, -2)が3点A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(5, 2, 5)で作られる平面ABC上にあるとき、実数s, tを用いて$AP = sAB + tAC$と表されるとき、s, tの値を求め、それを用いてaの値を求める問題です。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

問題1は、三角形ABCの面積Sを求める問題です。

(1)では、$|AB|=2$, $|AC|=3$, $AB \cdot AC = 1$のとき、$S=1$を求めます。

(2)では、A(1,0), B(3,1), C(5,4)のとき、$S=2$を求めます。

問題2は、点P(a, -1, -2)が3点A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(5, 2, 5)で作られる平面ABC上にあるとき、実数s, tを用いて$AP = sAB + tAC$と表されるとき、s, tの値を求め、それを用いてaの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin{\theta}$ を使います。ここで、$\theta$はベクトルABとACのなす角です。

$AB \cdot AC = |AB| |AC| \cos{\theta}$ より、$\cos{\theta} = \frac{AB \cdot AC}{|AB| |AC|} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$です。

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$より、$\sin^2{\theta} = 1 - \cos^2{\theta} = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

$\sin{\theta} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$

したがって、$S = \frac{1}{2} |AB| |AC| \sin{\theta} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) 3点の座標から三角形の面積を求める公式を使います。

$S = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$

$S = \frac{1}{2} |(3 - 1)(4 - 0) - (5 - 1)(1 - 0)| = \frac{1}{2} |2 \cdot 4 - 4 \cdot 1| = \frac{1}{2} |8 - 4| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

問題2

まず、ベクトルAP, AB, ACを成分で表します。

$AP = (a - 2, -1 - 1, -2 - 3) = (a - 2, -2, -5)$

$AB = (3 - 2, 2 - 1, 4 - 3) = (1, 1, 1)$

$AC = (5 - 2, 2 - 1, 5 - 3) = (3, 1, 2)$

$AP = sAB + tAC$なので、

$(a - 2, -2, -5) = s(1, 1, 1) + t(3, 1, 2) = (s + 3t, s + t, s + 2t)$

成分ごとに比較すると、

$a - 2 = s + 3t$

$-2 = s + t$

$-5 = s + 2t$

2番目と3番目の式からsとtを求めます。

$-5 = s + 2t$

$-2 = s + t$

上の式から下の式を引くと、

$-3 = t$

$t = -3$

$-2 = s - 3$

$s = 1$

したがって、$s = 1, t = -3$

$a - 2 = s + 3t = 1 + 3(-3) = 1 - 9 = -8$

$a = -8 + 2 = -6$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\frac{\sqrt{35}}{2}$

(2) 2

問題2

$s = 1$

$t = -3$

$a = -6$