三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺の長さを求めます。 (1) $b = \sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$a$ を求めます。 (2) $c = 2\sqrt{6}$, $B = 45^\circ$, $C = 120^\circ$ のとき、$b$ を求めます。 (3) $a = 3$, $A = 135^\circ$, $C = 30^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺の長さを求めます。

(1) $b = \sqrt{2}$, $A = 30^\circ$, $B = 45^\circ$ のとき、$a$ を求めます。

(2) $c = 2\sqrt{6}$, $B = 45^\circ$, $C = 120^\circ$ のとき、$b$ を求めます。

(3) $a = 3$, $A = 135^\circ$, $C = 30^\circ$ のとき、$c$ を求めます。

2. 解き方の手順

正弦定理を利用して解きます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

です。

(1) 正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{\sqrt{2} \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = 1$

(2) 正弦定理より、

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{2\sqrt{6}}{\sin 120^\circ}$

$b = \frac{2\sqrt{6} \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 4$

(3) まず、角Bを求めます。

$A+B+C = 180^\circ$ より、

$135^\circ + B + 30^\circ = 180^\circ$

$B = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{3}{\sin 135^\circ} = \frac{c}{\sin 30^\circ}$

$c = \frac{3 \sin 30^\circ}{\sin 135^\circ} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) $b = 4$

(3) $c = \frac{3\sqrt{2}}{2}$