平面上に2点A(-1, 3), B(5, 11)がある。 (1) 直線 $y=2x$ について、点Aと対称な点Pの座標を求めよ。 (2) 点Qが直線 $y=2x$ 上にあるとき、QA+QBを最小にする点Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に2点A(-1, 3), B(5, 11)がある。

(1) 直線 $y=2x$ について、点Aと対称な点Pの座標を求めよ。

(2) 点Qが直線 $y=2x$ 上にあるとき、QA+QBを最小にする点Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点A(-1, 3)と直線 $y=2x$ に関して対称な点をP(a, b)とする。

線分APの中点Mの座標は、 $M(\frac{a-1}{2}, \frac{b+3}{2})$。

点Mは直線 $y=2x$ 上にあるので、

$\frac{b+3}{2} = 2 \cdot \frac{a-1}{2}$

$b+3 = 2(a-1)$

$b = 2a - 5$ ...(1)

直線APは直線 $y=2x$ と垂直なので、傾きの積は-1である。

$\frac{b-3}{a-(-1)} \cdot 2 = -1$

$2(b-3) = -(a+1)$

$2b - 6 = -a - 1$

$2b = -a + 5$ ...(2)

(1)を(2)に代入すると、

$2(2a-5) = -a + 5$

$4a - 10 = -a + 5$

$5a = 15$

$a = 3$

(1)に代入して、

$b = 2(3) - 5 = 1$

よって、点Pの座標は(3, 1)。

(2)

点A(-1, 3)の直線 $y=2x$ に関する対称点をP(3, 1)とする。

点Qは直線 $y=2x$ 上の点なので、QA = QP。

したがって、QA + QB = QP + QBを最小にする点Qの座標を求めればよい。

これは、点Qが線分PB上にあるときに最小となる。

直線PBの方程式を求める。

傾きは $\frac{11-1}{5-3} = \frac{10}{2} = 5$

直線PBの方程式は、

$y - 1 = 5(x - 3)$

$y = 5x - 15 + 1$

$y = 5x - 14$

点Qは直線 $y=2x$ 上にあるので、$y=2x$を代入して、

$2x = 5x - 14$

$3x = 14$

$x = \frac{14}{3}$

$y = 2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3}$

よって、点Qの座標は $(\frac{14}{3}, \frac{28}{3})$。

3. 最終的な答え

(1) (3, 1)

(2) $(\frac{14}{3}, \frac{28}{3})$