3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

円の方程式を一般形 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$ とおきます。

この円が3点$(-2, -1)$, $(4, -3)$, $(1, 2)$を通るので、それぞれ代入して以下の3つの式を得ます。

$(-2)^2 + (-1)^2 - 2l - m + n = 0$

$4^2 + (-3)^2 + 4l - 3m + n = 0$

$1^2 + 2^2 + l + 2m + n = 0$

整理すると、以下の連立方程式が得られます。

$4 + 1 - 2l - m + n = 0 \implies -2l - m + n = -5 \quad (1)$

$16 + 9 + 4l - 3m + n = 0 \implies 4l - 3m + n = -25 \quad (2)$

$1 + 4 + l + 2m + n = 0 \implies l + 2m + n = -5 \quad (3)$

(2) - (1)より

$6l - 2m = -20 \implies 3l - m = -10 \quad (4)$

(3) - (1)より

$3l + 3m = 0 \implies l + m = 0 \quad (5)$

(4) - (5) * 3より

$-4m = -10 \implies m = \frac{5}{2}$

(5)より

$l = -m = -\frac{5}{2}$

(3)より

$-\frac{5}{2} + 2(\frac{5}{2}) + n = -5$

$-\frac{5}{2} + 5 + n = -5$

$n = -5 + \frac{5}{2} - 5 = -10 + \frac{5}{2} = -\frac{15}{2}$

よって、円の方程式は

$x^2 + y^2 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$

3. 最終的な答え

$2x^2 + 2y^2 - 5x + 5y - 15 = 0$