(1) 図において、$\angle A = 62^\circ$ である。$\angle BDC$ の角度を求める。ただし、図の丸印（$\circ$）と黒丸印（$\bullet$）はそれぞれ等しい角である。 (2) 四角形ABCDについて、直線$l$を軸として360度回転してできる立体の表面積を求める。ただし、円周率は$\pi$を用いる。$AB=18$ cm、$BC=13$ cm、$CD=6$ cm、$AD=5$ cm。

1. 問題の内容

(1) 図において、$\angle A = 62^\circ$ である。$\angle BDC$ の角度を求める。ただし、図の丸印（$\circ$）と黒丸印（$\bullet$）はそれぞれ等しい角である。

(2) 四角形ABCDについて、直線$l$を軸として360度回転してできる立体の表面積を求める。ただし、円周率は$\pi$を用いる。$AB=18$ cm、$BC=13$ cm、$CD=6$ cm、$AD=5$ cm。

2. 解き方の手順

(1) $\angle B$ と $\angle C$ をそれぞれ $x$、$y$ とする。$\angle A = 62^\circ$ より、$\triangle ABC$ において、

$x+y+62^\circ = 180^\circ$

$x+y = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$

また、$\angle EBC = \angle ECB = x$、$\angle ECD = \angle EDC = y$ である。

$\triangle BEC$ において、$\angle BEC = 180^\circ - 2x$

$\triangle DEC$ において、$\angle DEC = 180^\circ - 2y$

$\angle BED = 360^\circ - \angle BEC - \angle DEC$

$= 360^\circ - (180^\circ - 2x) - (180^\circ - 2y)$

$= 360^\circ - 180^\circ + 2x - 180^\circ + 2y$

$= 2(x+y) = 2 \times 118^\circ = 236^\circ$

四角形 $ABED$ の内角の和は $360^\circ$ であるから、

$\angle BDA = 360^\circ - (\angle A + \angle BED + \angle EBA) = 360^\circ - (62^\circ + 236^\circ + x) = 62^\circ - x$

$\triangle BDC$ において、$\angle BDC = 180^\circ - y - (x+y) = 180^\circ - (x + 2y)$

$x+y=118^\circ$ より $x = 118^\circ - y$

$\angle BDC = 180^\circ - (118^\circ - y + 2y) = 180^\circ - 118^\circ - y = 62^\circ - y$

$\angle BDC = y = \angle EDC$

$\angle BDC = 62^\circ - y = 62^\circ - \angle EDC$

$\angle BDC = \angle EDC$

$62^\circ - y = y$

$2y = 62^\circ$

$y = 31^\circ$

$\angle BDC = y = 31^\circ$

(2) 回転体は、底面の半径が $AB = 18$ cm の円錐から、底面の半径が $CD = 6$ cm の円錐を取り除いた形になる。

また、円柱の側面が加わる。

母線はそれぞれ $BC = 13$ cm、$AD = 5$ cm。

円錐の側面積は $\pi r l$ （$r$: 底面の半径、$l$: 母線）で与えられる。

円柱の側面積は $2 \pi r h$ （$r$: 底面の半径、$h$: 高さ）で与えられる。

大きな円錐の側面積 $S_1 = \pi \times 18 \times 13 = 234 \pi$

小さな円錐の側面積 $S_2 = \pi \times 6 \times 5 = 30 \pi$

円柱の側面積 $S_3 = 2 \pi \times 6 \times 5 = 60 \pi$

底面の面積 $S_4 = \pi \times 18^2 - \pi \times 6^2 = \pi (18^2 - 6^2) = \pi(324-36) = 288 \pi$

立体の表面積 $S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 234\pi + 30 \pi + 60 \pi = 324\pi cm^2$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BDC = 31^\circ$

(2) $324 \pi$ 平方センチメートル