(1) 次の点と直線の距離を求めます。 (ア) 原点, $4x+3y-12=0$ (イ) 点$(2, -3)$, $2x-3y+5=0$ (ウ) 点$(-1, 3)$, $x=2$ (エ) 点$(5, 6)$, $y=3$ (2) 平行な2直線 $x-2y+3=0$, $x-2y-1=0$ 間の距離を求めます。 (3) 点$(1, 1)$ から直線 $ax-2y-1=0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 次の点と直線の距離を求めます。

(ア) 原点, $4x+3y-12=0$

(イ) 点$(2, -3)$, $2x-3y+5=0$

(ウ) 点$(-1, 3)$, $x=2$

(エ) 点$(5, 6)$, $y=3$

(2) 平行な2直線 $x-2y+3=0$, $x-2y-1=0$ 間の距離を求めます。

(3) 点$(1, 1)$ から直線 $ax-2y-1=0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点と直線の距離の公式を用います。点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ で表されます。

(ア) 原点$(0, 0)$ と直線 $4x+3y-12=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|4(0)+3(0)-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{16+9}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$

(イ) 点$(2, -3)$ と直線 $2x-3y+5=0$ の距離 $d$ は、

$d = \frac{|2(2)-3(-3)+5|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}} = \frac{|4+9+5|}{\sqrt{4+9}} = \frac{18}{\sqrt{13}} = \frac{18\sqrt{13}}{13}$

(ウ) 点$(-1, 3)$ と直線 $x=2$ (すなわち $x-2=0$) の距離 $d$ は、

$d = \frac{|1(-1)-2|}{\sqrt{1^2+0^2}} = \frac{|-1-2|}{\sqrt{1}} = \frac{|-3|}{1} = 3$

(エ) 点$(5, 6)$ と直線 $y=3$ (すなわち $y-3=0$) の距離 $d$ は、

$d = \frac{|1(6)-3|}{\sqrt{0^2+1^2}} = \frac{|6-3|}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3$

(2) 平行な2直線 $x-2y+3=0$ と $x-2y-1=0$ の距離を求めます。

まず、直線 $x-2y+3=0$ 上の任意の点を見つけます。例えば、$y=0$ とすると $x=-3$ となるので、点 $(-3, 0)$ はこの直線上にあります。次に、点 $(-3, 0)$ と直線 $x-2y-1=0$ の距離を求めます。

$d = \frac{|1(-3)-2(0)-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}} = \frac{|-3-0-1|}{\sqrt{1+4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) 点$(1, 1)$ から直線 $ax-2y-1=0$ に下ろした垂線の長さが $\sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値を求めます。

$\sqrt{2} = \frac{|a(1)-2(1)-1|}{\sqrt{a^2+(-2)^2}} = \frac{|a-3|}{\sqrt{a^2+4}}$

両辺を2乗して

$2 = \frac{(a-3)^2}{a^2+4}$

$2(a^2+4) = (a-3)^2$

$2a^2+8 = a^2-6a+9$

$a^2+6a-1 = 0$

解の公式より

$a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36+4}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -3 \pm \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\frac{12}{5}$

(イ) $\frac{18\sqrt{13}}{13}$

(ウ) $3$

(エ) $3$

(2) $\frac{4\sqrt{5}}{5}$

(3) $a = -3 \pm \sqrt{10}$