三角形において、$b = \sqrt{2}$, $c = 3$, $C = 45^\circ$ のとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形において、$b = \sqrt{2}$, $c = 3$, $C = 45^\circ$ のとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$a$ の値を求める。余弦定理より、

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$ が成り立つ。

与えられた値を代入すると、

$3^2 = a^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot \sqrt{2} \cos{45^\circ}$

$9 = a^2 + 2 - 2\sqrt{2}a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$9 = a^2 + 2 - 2a$

$a^2 - 2a - 7 = 0$

これを $a$ についての二次方程式とみて、解の公式を用いる。

$a = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2}$

$a = \frac{2 \pm \sqrt{32}}{2}$

$a = \frac{2 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$a = 1 \pm 2\sqrt{2}$

$a$ は三角形の辺の長さなので、$a > 0$ である必要がある。

$1 - 2\sqrt{2}$ は負の値になるので不適。

よって、$a = 1 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a = 1 + 2\sqrt{2}$