与えられた条件から円の方程式を求める問題です。 (1) 中心の座標と半径が与えられた場合 (2) 中心の座標と円上の1点が与えられた場合 (3) 直径の両端の座標が与えられた場合

1. 問題の内容

与えられた条件から円の方程式を求める問題です。

(1) 中心の座標と半径が与えられた場合

(2) 中心の座標と円上の1点が与えられた場合

(3) 直径の両端の座標が与えられた場合

2. 解き方の手順

(1) 中心が $(3, -2)$ で半径が $4$ の円の方程式を求めます。

円の方程式の一般形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ です。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、 $r$ は半径です。

したがって、与えられた条件から、 $a = 3$, $b = -2$, $r = 4$ となります。

これを円の方程式に代入すると、 $(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 4^2$ となります。

これを整理すると、 $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$ となります。

(2) 中心が $(0, 3)$ で点 $(-1, 6)$ を通る円の方程式を求めます。

円の方程式の一般形は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ です。ここで、$(a, b)$ は円の中心の座標、 $r$ は半径です。

したがって、与えられた条件から、 $a = 0$, $b = 3$ となります。

点 $(-1, 6)$ が円上にあるので、これを円の方程式に代入すると、 $(-1-0)^2 + (6-3)^2 = r^2$ となります。

これを計算すると、 $1 + 9 = r^2$ となり、$r^2 = 10$ となります。

したがって、円の方程式は $(x-0)^2 + (y-3)^2 = 10$ となり、$x^2 + (y-3)^2 = 10$ となります。

(3) 2点 $(-3, -4)$ と $(5, 8)$ を直径の両端とする円の方程式を求めます。

まず、円の中心を求めます。円の中心は直径の中点なので、中心の座標は $\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{-4+8}{2}\right) = (1, 2)$ となります。

次に、半径を求めます。半径は中心から直径の端点までの距離なので、半径は $\sqrt{(5-1)^2 + (8-2)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$ となります。

したがって、円の方程式は $(x-1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{52})^2$ となり、 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 52$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$

(2) $x^2 + (y-3)^2 = 10$

(3) $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 52$