集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されているとき、$n(A \cup B \cup C)$ を求めよ。 * $A = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の4の倍数} \}$ * $B = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の5の倍数} \}$ * $C = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の6の倍数} \}$

1. 問題の内容

集合 $A$, $B$, $C$ が以下のように定義されているとき、$n(A \cup B \cup C)$ を求めよ。

* $A = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の4の倍数} \}$

* $B = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の5の倍数} \}$

* $C = \{ x \mid x \text{ は1以上50以下の6の倍数} \}$

2. 解き方の手順

和集合の要素の個数を求める公式（包除原理）を使う。

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

まず、それぞれの集合の要素の個数を求める。

* $n(A) = \lfloor \frac{50}{4} \rfloor = 12$ （$\lfloor x \rfloor$ は床関数で、$x$ 以下の最大の整数を表す。）

* $n(B) = \lfloor \frac{50}{5} \rfloor = 10$

* $n(C) = \lfloor \frac{50}{6} \rfloor = 8$

次に、2つの集合の共通部分の要素の個数を求める。

* $n(A \cap B) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の4の倍数かつ5の倍数} \}) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の20の倍数} \}) = \lfloor \frac{50}{20} \rfloor = 2$

* $n(B \cap C) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の5の倍数かつ6の倍数} \}) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の30の倍数} \}) = \lfloor \frac{50}{30} \rfloor = 1$

* $n(C \cap A) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の6の倍数かつ4の倍数} \}) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の12の倍数} \}) = \lfloor \frac{50}{12} \rfloor = 4$

最後に、3つの集合の共通部分の要素の個数を求める。

* $n(A \cap B \cap C) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の4の倍数かつ5の倍数かつ6の倍数} \}) = n(\{ x \mid x \text{ は1以上50以下の60の倍数} \}) = \lfloor \frac{50}{60} \rfloor = 0$

これらの値を公式に代入する。

$n(A \cup B \cup C) = 12 + 10 + 8 - 2 - 1 - 4 + 0 = 23$

3. 最終的な答え

23