$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

$a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a^3 - 8b^3 + 1 + 6ab$ のように項の順番を入れ替えます。

次に、$8b^3$ を $(2b)^3$ と書き換えます。

すると、$a^3 - (2b)^3 + 1 + 6ab$ となります。

ここで、$A = a$、$B = -2b$ と置くと、$A^3 + B^3 + 1 - 3AB = (A+B+1)(A^2+B^2+1-AB-B-A)$という因数分解の公式が使えます。

$a^3 + (-2b)^3 + 1^3 - 3 \cdot a \cdot (-2b) \cdot 1$ と変形すると、$a^3 - 8b^3 + 1 + 6ab$ と一致します。

よって、$A = a$、$B = -2b$ を代入すると、

$(a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 1 - a(-2b) - (-2b) - a)$

$= (a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 1 + 2ab + 2b - a)$

となります。

3. 最終的な答え

$(a - 2b + 1)(a^2 + 4b^2 + 2ab - a + 2b + 1)$