初項から第3項までの和が93、第2項から第4項までの和が465である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。ヒントとして $ar + ar^2 + ar^3 = r(a+ar+ar^2)$ が与えられている。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が93、第2項から第4項までの和が465である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めよ。ヒントとして $ar + ar^2 + ar^3 = r(a+ar+ar^2)$ が与えられている。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2$ であり、第2項から第4項までの和は $ar + ar^2 + ar^3$ である。問題文より、

$a + ar + ar^2 = 93$ ...(1)

$ar + ar^2 + ar^3 = 465$ ...(2)

(2)式を $r(a + ar + ar^2) = 465$ と変形する。

(1)式より、$a + ar + ar^2 = 93$ なので、これを代入して $93r = 465$

よって、$r = \frac{465}{93} = 5$

$r=5$ を(1)式に代入して、$a + 5a + 25a = 93$

$31a = 93$

$a = \frac{93}{31} = 3$

したがって、$a = 3$、 $r = 5$ となる。

3. 最終的な答え

$a = 3$, $r = 5$