与えられた等比数列 $1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$ の初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, \dots$ の初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。

初項 $a = 1$, 公比 $r = 2$, 項数 $N = 2n$ の等比数列の和 $S_N$ は、

$S_N = \frac{a(r^N - 1)}{r - 1}$

で与えられます。

今回の問題では $a = 1$, $r = 2$, $N = 2n$ であるから、

$S_{2n} = \frac{1(2^{2n} - 1)}{2 - 1}$

$S_{2n} = 2^{2n} - 1$

$S_{2n} = (2^2)^n - 1$

$S_{2n} = 4^n - 1$

3. 最終的な答え

$S_{2n} = 4^n - 1$

選択肢３が正解です。