与えられた等比数列 $1, 4, 4^2, 4^3, \dots$ の初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等比数列 $1, 4, 4^2, 4^3, \dots$ の初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列の初項 $a$ と公比 $r$ を確認します。

初項は $a = 1$ であり、公比は $r = 4$ です。

等比数列の和の公式は次のようになります。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

今回は初項から第 $2n$ 項までの和 $S_{2n}$ を求めるので、$n$ を $2n$ に置き換えます。

すると、次のようになります。

$S_{2n} = \frac{1(4^{2n} - 1)}{4 - 1}$

これを整理すると、

$S_{2n} = \frac{4^{2n} - 1}{3}$

$4^{2n}$ は $(4^2)^n = 16^n$ と書き換えることができます。よって、

$S_{2n} = \frac{16^n - 1}{3} = \frac{1}{3}(16^n - 1)$

3. 最終的な答え

$S_{2n} = \frac{1}{3}(16^n - 1)$

選択肢の中から対応するものを探すと、選択肢1が正しいです。