2つの放物線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。以下の3つの組について解きます。 (1) $y=x^2$, $y=-x^2+2x+12$ (2) $y=x^2-x+1$, $y=2x^2-5x+6$ (3) $y=x^2-x$, $y=-x^2+3x-2$

1. 問題の内容

2つの放物線が共有点を持つかどうかを調べ、共有点を持つ場合はその座標を求める問題です。以下の3つの組について解きます。

(1) $y=x^2$, $y=-x^2+2x+12$

(2) $y=x^2-x+1$, $y=2x^2-5x+6$

(3) $y=x^2-x$, $y=-x^2+3x-2$

2. 解き方の手順

2つの放物線の式を連立させて、$y$ を消去し、$x$ についての2次方程式を作ります。

この2次方程式の判別式 $D$ を計算し、$D>0$ ならば2つの共有点を持ち、$D=0$ ならば1つの共有点(接点)を持ち、$D<0$ ならば共有点を持ちません。共有点を持つ場合、$x$ の値を求め、それを元の式に代入して $y$ の値を求めます。

(1)

$x^2 = -x^2 + 2x + 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

$x=3$ のとき $y = 3^2 = 9$

$x=-2$ のとき $y = (-2)^2 = 4$

共有点は $(3, 9), (-2, 4)$

(2)

$x^2 - x + 1 = 2x^2 - 5x + 6$

$0 = x^2 - 4x + 5$

判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4 < 0$

したがって、共有点は存在しません。

(3)

$x^2 - x = -x^2 + 3x - 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$x=1$ のとき $y = 1^2 - 1 = 0$

共有点は $(1, 0)$

3. 最終的な答え

(1) 共有点あり。座標は $(3, 9), (-2, 4)$

(2) 共有点なし。

(3) 共有点あり。座標は $(1, 0)$