複素数平面において、点A, Bがそれぞれ$\alpha = -4 - 2i$, $\beta = 1 + 4i$ で表されるとき、以下のものを求めます。 (1) 線分ABを2:3に内分する点P, 2:3に外分する点Q、線分ABの中点Mを表す複素数。 (2) 線分ABの長さと線分PMの長さを求める。

1. 問題の内容

複素数平面において、点A, Bがそれぞれ$\alpha = -4 - 2i$, $\beta = 1 + 4i$ で表されるとき、以下のものを求めます。

(1) 線分ABを2:3に内分する点P, 2:3に外分する点Q、線分ABの中点Mを表す複素数。

(2) 線分ABの長さと線分PMの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 点P: 線分ABを2:3に内分する点Pを表す複素数pは、

$p = \frac{3\alpha + 2\beta}{2+3} = \frac{3(-4-2i) + 2(1+4i)}{5} = \frac{-12 - 6i + 2 + 8i}{5} = \frac{-10 + 2i}{5} = -2 + \frac{2}{5}i$

* 点Q: 線分ABを2:3に外分する点Qを表す複素数qは、

$q = \frac{-3\alpha + 2\beta}{-3+2} = \frac{-3(-4-2i) + 2(1+4i)}{-1} = \frac{12 + 6i + 2 + 8i}{-1} = \frac{14 + 14i}{-1} = -14 - 14i$

* 点M: 線分ABの中点Mを表す複素数mは、

$m = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{-4 - 2i + 1 + 4i}{2} = \frac{-3 + 2i}{2} = -\frac{3}{2} + i$

(2)

* AB: 2点A, B間の距離は、$|\beta - \alpha| = |1 + 4i - (-4 - 2i)| = |5 + 6i| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$

* PM: 2点P, M間の距離は、$|m - p| = |-\frac{3}{2} + i - (-2 + \frac{2}{5}i)| = |-\frac{3}{2} + 2 + i - \frac{2}{5}i| = |\frac{1}{2} + \frac{3}{5}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 + 36}{100}} = \sqrt{\frac{61}{100}} = \frac{\sqrt{61}}{10}$

3. 最終的な答え

(1)

P: $-2 + \frac{2}{5}i$

Q: $-14 - 14i$

M: $-\frac{3}{2} + i$

(2)

AB: $\sqrt{61}$

PM: $\frac{\sqrt{61}}{10}$