$n \ge 1$ のとき、二項係数に関する等式 $ {}_nC_r = {}_n n-1C_{r-1}$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

$n \ge 1$ のとき、二項係数に関する等式 ${}_nC_r = {}_n n-1C_{r-1}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

二項係数の定義を用いて、左辺と右辺をそれぞれ計算し、両者が等しいことを示します。

二項係数の定義は以下の通りです。

${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

まず、左辺の${}_nC_r$を変形します。

${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

次に、右辺の${}_{n-1}C_{r-1}$を変形します。

${}_{n-1}C_{r-1} = \frac{(n-1)!}{(r-1)!((n-1)-(r-1))!} = \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$

与えられた式${}_nC_r = \frac{n}{r} {}_{n-1}C_{r-1}$の右辺を変形します。

$\frac{n}{r} {}_{n-1}C_{r-1} = \frac{n}{r} \cdot \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} = \frac{n(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

これは左辺${}_nC_r$と一致します。

3. 最終的な答え

${}_nC_r = \frac{n}{r} {}_{n-1}C_{r-1}$ が成り立つ。