与えられた条件の下で、液体の冷却に関する以下の3つの問題に答えます。 (1) 液体Aを冷却開始後2分後の温度を求めます。 (2) 液体Bの温度が9℃下がるまでの時間を求めます。 (3) 液体Aと液体Bを同時に冷却開始したとき、温度が等しくなるまでの時間を、選択肢から最も近いものを選びます。

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、液体の冷却に関する以下の3つの問題に答えます。

(1) 液体Aを冷却開始後2分後の温度を求めます。

(2) 液体Bの温度が9℃下がるまでの時間を求めます。

(3) 液体Aと液体Bを同時に冷却開始したとき、温度が等しくなるまでの時間を、選択肢から最も近いものを選びます。

2. 解き方の手順

(1) 液体Aの冷却開始後2分後の温度を求める。

液体Aの温度$y_A$は、$y_A = 0.2x^2 - 2x + 70$で与えられます。

$x = 2$を代入して、$y_A$を計算します。

(2) 液体Bの温度が9℃下がるまでの時間を求める。

液体Bの温度$y_B$は、$y_B = x^2 - 10x + 80$で与えられます。

初期温度は$80℃$なので、$9℃$下がると$71℃$になります。

$y_B = 71$となる$x$を求めます。

$x^2 - 10x + 80 = 71$

$x^2 - 10x + 9 = 0$

$(x-1)(x-9) = 0$

$x=1$または$x=9$

問題文より、$0 \le x \le 5$なので、$x=1$となります。

(3) 液体Aと液体Bの温度が等しくなる時間を求める。

$y_A = y_B$となる$x$を求めます。

$0.2x^2 - 2x + 70 = x^2 - 10x + 80$

$0 = 0.8x^2 - 8x + 10$

$0 = 4x^2 - 40x + 50$

$0 = 2x^2 - 20x + 25$

解の公式を用いて、$x$を求めます。

$x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(2)(25)}}{2(2)}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 200}}{4}$

$x = \frac{20 \pm \sqrt{200}}{4}$

$x = \frac{20 \pm 10\sqrt{2}}{4}$

$x = 5 \pm \frac{5\sqrt{2}}{2}$

$x = 5 \pm \frac{5 \times 1.414}{2}$

$x = 5 \pm \frac{7.07}{2}$

$x = 5 \pm 3.535$

$x = 8.535$または$x = 1.465$

問題文より、$0 \le x \le 5$なので、$x \approx 1.465$となります。

選択肢の中で最も近いのは1.5分後です。

3. 最終的な答え

(1) 液体Aの2分後の温度：$0.2(2^2) - 2(2) + 70 = 0.2(4) - 4 + 70 = 0.8 - 4 + 70 = 66.8℃$

(2) 液体Bの温度が9℃下がるまでの時間：1分後

(3) 液体Aと液体Bの温度が等しくなる時間：イ 1.5分後