複素数の計算問題です。以下の3つの問題を解きます。 (3) $(1+3i)(3-5i)$ (5) $\frac{1-i}{1+i}$ (6) $\frac{1}{1+3i} + \frac{1}{1-3i}$

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。以下の3つの問題を解きます。

(3) $(1+3i)(3-5i)$

(5) $\frac{1-i}{1+i}$

(6) $\frac{1}{1+3i} + \frac{1}{1-3i}$

2. 解き方の手順

(3) $(1+3i)(3-5i)$ の計算

複素数の積を計算します。$i^2 = -1$ であることを利用します。

\begin{align*}

(1+3i)(3-5i) &= 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-5i) + 3i \cdot 3 + 3i \cdot (-5i) \\

&= 3 - 5i + 9i - 15i^2 \\

&= 3 + 4i - 15(-1) \\

&= 3 + 4i + 15 \\

&= 18 + 4i

\end{align*}

(5) $\frac{1-i}{1+i}$ の計算

分母を有理化するために、分母の共役複素数 $1-i$ を分母と分子に掛けます。

\begin{align*}

\frac{1-i}{1+i} &= \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\

&= \frac{1 - i - i + i^2}{1 - i^2} \\

&= \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} \\

&= \frac{-2i}{2} \\

&= -i

\end{align*}

(6) $\frac{1}{1+3i} + \frac{1}{1-3i}$ の計算

通分して計算します。

\begin{align*}

\frac{1}{1+3i} + \frac{1}{1-3i} &= \frac{(1-3i) + (1+3i)}{(1+3i)(1-3i)} \\

&= \frac{2}{1 - (3i)^2} \\

&= \frac{2}{1 - 9i^2} \\

&= \frac{2}{1 - 9(-1)} \\

&= \frac{2}{1+9} \\

&= \frac{2}{10} \\

&= \frac{1}{5}

\end{align*}

3. 最終的な答え

(3) $18 + 4i$

(5) $-i$

(6) $\frac{1}{5}$