$a, b, c$ はそれぞれ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のいずれかの数であり、同じ数であってもよい。以下の問いに答えよ。 (1) $(b-a)(c-b)(a-c) \ne 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。 (2) $(b-a)(c-b) > 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。 (3) $(b-a)(c-b) < 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。 (4) $(b-a)(c-b)(a-c) > 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。

1. 問題の内容

$a, b, c$ はそれぞれ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 のいずれかの数であり、同じ数であってもよい。以下の問いに答えよ。

(1) $(b-a)(c-b)(a-c) \ne 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。

(2) $(b-a)(c-b) > 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。

(3) $(b-a)(c-b) < 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。

(4) $(b-a)(c-b)(a-c) > 0$ を満たす $(a, b, c)$ は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) $(b-a)(c-b)(a-c) \ne 0$ より、$a, b, c$ はすべて異なる数でなければならない。7つの数から3つ選んで並べる順列の数を求める。

順列の公式は $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ である。

$P(7, 3) = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

(2) $(b-a)(c-b) > 0$ より、$b-a$ と $c-b$ の符号が同じでなければならない。つまり、$b-a > 0$ かつ $c-b > 0$ または $b-a < 0$ かつ $c-b < 0$。

つまり、$a < b < c$ または $c < b < a$ となる。

7つの数から3つ選ぶ組み合わせの数は $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$。

選んだ3つの数に対して、$a < b < c$ または $c < b < a$ の2通りの並べ方がある。

したがって、35通り。

(3) $(b-a)(c-b) < 0$ より、$b-a$ と $c-b$ の符号が異なっていなければならない。つまり、$b-a > 0$ かつ $c-b < 0$ または $b-a < 0$ かつ $c-b > 0$。

つまり、$a < b > c$ または $a > b < c$ となる。

7つの数から3つ選ぶ組み合わせの数は $\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$。

選んだ3つの数に対して、$a < b > c$ または $a > b < c$ の2通りの並べ方がある。

したがって、35通り。

ただし、$a, b, c$ の中に同じ数がある場合も考慮する。$a = b$, $b = c$ の場合は $(b-a)(c-b) = 0$ となるので除外される。

$a = c$ の場合、$b$ は $a$ と異なる数であればよい。$a$ の選び方は7通り、$b$ の選び方は6通り。

ただし、$a < b > a$ または $a > b < a$ があり得る。

$(b-a)(c-b) < 0$ となるのは、$a < b > c$ または $a > b < c$ の場合である。

7つの数字から2つを選び、大きい方を$b$とする。小さい方2つを $a$ と $c$ に配置する。

大きい方の選び方は7通り。小さい方の選び方は6通り。並べ方は1通り。合計 $\binom{7}{2} * 2 - \binom{7}{1} = 35$.

$35 * 2 - 7 = 70 - 7=63$通り。

3. 問題の内容より、$a,b,c$は同じ数でもよいので、3つが全て異なる場合以外も考慮する必要がある。

$(b-a)(c-b) < 0$ は $a < b > c$ または $a > b < c$ を意味する。

$a,b,c$ は1から7の数字。全場合の数は $7*7*7 = 343$

(2)より、$(b-a)(c-b) > 0$ の数は、$a<b<c$または$a>b>c$を意味する。

$b=1$のとき、$a>b$となる$a$は存在しない。同様に$b=7$のとき、$c>b$となる$c$は存在しない。

(4) $(b-a)(c-b)(a-c) > 0$ は $(b-a)$と$(c-b)$と$(a-c)$がすべて正、または1つが正で残り2つが負の場合である。

3つの積が正となるのは、$a < b < c$、$a < c < b$, $b < a < c$, $b < c < a$, $c < a < b$, $c < b < a$ のうち、$a < b < c$ と $c < b < a$のみ。

$a < b < c$ の場合、7つの数から3つ選ぶ組み合わせは $\binom{7}{3} = 35$通り。

$a,b,c$が異なるとき、$a<b<c$ または $c<b<a$。

$(b-a)(c-b)(a-c) > 0$ より、$a < b < c$ または $c < b < a$ が成り立つ。

7つの数から3つ選ぶ組み合わせは $\binom{7}{3} = 35$通り。選んだ3つの数に対して、大小関係が2通りある。

したがって、$35*2 = 70$

3. 最終的な答え

(1) 210 通り

(2) 35通り

(3) (b-a)(c-b) < 0を満たす (a, b, c) は 343-35 = 200通り。

(4) 35通り

(1) 210

(2) a < b < c または c < b < a の時 (b-a)(c-b) > 0になる。7つから3つ選ぶ数は $7C3 = 35通り。

(3) a < b > c または a > b < c の時 (b-a)(c-b) < 0になる。7つから3つ選ぶ数は $7C3 = 35通り。選んだ3つの数字の並び方は$3!=6$通り。a=b, b=c になる場合は考えない。a=cの時 (b-a)(c-b) = (b-a)(a-b) = -(b-a)^2 < 0になるので35-7=28。

(4) (b-a)(c-b)(a-c) > 0 より (b-a), (c-b), (a-c)がすべて正、または1つだけが正で残りは負の場合。

a < b < c または c < b < a のとき、条件を満たすので35通り。

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(1) 210 通り

(2) 35通り

(3) 35通り

(4) 35通り

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