関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $3$ から $7$ まで増加するときの変化の割合が、1次関数 $y=5x-1$ の変化の割合に等しい。このとき、$a$ の値を求めなさい。

## 2番の問題

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $3$ から $7$ まで増加するときの変化の割合が、1次関数 $y=5x-1$ の変化の割合に等しい。このとき、$a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、1次関数 $y=5x-1$ の変化の割合を求めます。1次関数の変化の割合は傾きに等しいので、$y=5x-1$ の変化の割合は $5$ です。

次に、関数 $y=ax^2$ について、$x$ が $3$ から $7$ まで増加するときの変化の割合を求めます。変化の割合は、

$\frac{yの増加量}{xの増加量} = \frac{a(7^2) - a(3^2)}{7-3}$

で表されます。これを計算すると、

$\frac{49a - 9a}{4} = \frac{40a}{4} = 10a$

となります。

問題文より、この変化の割合が $5$ に等しいので、

$10a = 5$

という方程式が成り立ちます。この方程式を解いて $a$ の値を求めます。

3. 最終的な答え

$10a = 5$

$a = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

したがって、$a = \frac{1}{2}$ が最終的な答えです。