次の複素数の式を計算し、実部と虚部に分けて表してください。 $\frac{2i}{3-i} = \frac{\text{ケ}}{\text{コ}} + \frac{\text{サ}}{\text{シ}}i$

1. 問題の内容

次の複素数の式を計算し、実部と虚部に分けて表してください。

$\frac{2i}{3-i} = \frac{\text{ケ}}{\text{コ}} + \frac{\text{サ}}{\text{シ}}i$

2. 解き方の手順

複素数の分母を実数化するために、分母の共役複素数 $3+i$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)}$$

分子を展開します。

$$2i(3+i) = 6i + 2i^2 = 6i - 2 = -2 + 6i$$

分母を展開します。

$$(3-i)(3+i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$$

したがって、

$$\frac{2i}{3-i} = \frac{-2+6i}{10} = \frac{-2}{10} + \frac{6}{10}i = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$$

3. 最終的な答え

$\frac{2i}{3-i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

ケ = -1

コ = 5

サ = 3

シ = 5