複素数の割り算 $ \frac{2i}{3-i} $ を計算し、$a+bi$ の形に表す問題です。ここで、$a$と$b$は実数です。

1. 問題の内容

複素数の割り算 $\frac{2i}{3-i}$ を計算し、$a+bi$ の形に表す問題です。ここで、$a$と$b$は実数です。

2. 解き方の手順

複素数の分母を実数化するために、分母の共役複素数を分母と分子にかけます。分母 $3-i$ の共役複素数は $3+i$ です。

\begin{align*}

\frac{2i}{3-i} &= \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)} \\

&= \frac{6i+2i^2}{9-i^2}

\end{align*}

ここで、$i^2 = -1$ であることを用いると、

\begin{align*}

\frac{6i+2i^2}{9-i^2} &= \frac{6i-2}{9-(-1)} \\

&= \frac{-2+6i}{10} \\

&= \frac{-2}{10} + \frac{6}{10}i \\

&= -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i

\end{align*}

したがって、$\frac{2i}{3-i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2i}{3-i} = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

したがって、ケ = -1, コ = 5, サ = 3, シ = 5 です。