A, B には $\times$ か $\div$ の記号を、C には $+$ か $-$ の記号を入れ、式 $\left(-\frac{5}{12}\right) A + \left(\frac{9}{4}\right) B C \left(\frac{5}{16}\right)$ の計算結果が最も小さくなるようにする問題です。また、その時の式の計算結果を求めます。

1. 問題の内容

A, B には $\times$ か $\div$ の記号を、C には $+$ か $-$ の記号を入れ、式 $\left(-\frac{5}{12}\right) A + \left(\frac{9}{4}\right) B C \left(\frac{5}{16}\right)$ の計算結果が最も小さくなるようにする問題です。また、その時の式の計算結果を求めます。

2. 解き方の手順

計算結果を最も小さくするためには、以下の手順で考えます。

* A には $\times$ を入れるか $\div$ を入れるか検討する。

* B には $\times$ を入れるか $\div$ を入れるか検討する。

* C には $+$ を入れるか $-$ を入れるか検討する。

まず、A について考えます。$-\frac{5}{12}$ に $\times$ または $\div$ を作用させるため、$\times$ を入れると$-\frac{5}{12}$ の絶対値のままですが、$\div$ を入れると $-\frac{5}{12}$ の絶対値が小さくなります。したがって、計算結果をより小さくするためには A に $\times$ を入れます。

次に、B について考えます。$\frac{9}{4}$ に $\times$ または $\div$ を作用させるため、$\times$ を入れると$\frac{9}{4}$ の絶対値が大きくなりますが、$\div$ を入れると $\frac{9}{4}$ の絶対値が小さくなります。

C について考えます。Cの前に $+$ があるので、Cに $+$ が入ると $\frac{9}{4} B + \frac{5}{16}$ となり、$-$ が入ると $\frac{9}{4} B - \frac{5}{16}$ となります。$\frac{9}{4}B$ は正の数なので、計算結果を小さくするためには $\frac{5}{16}$ を引く必要があります。よってCには$-$を入れます。

以上より、A は $\times$、B は $\div$、C は $-$ を入れると計算結果が最も小さくなることが予想できます。

このとき、式は $\left(-\frac{5}{12}\right) \times + \left(\frac{9}{4}\right) \div - \left(\frac{5}{16}\right)$ となります。

計算すると、

$\left(-\frac{5}{12}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \div \left(\frac{5}{16}\right) = \left(-\frac{5}{12}\right) + \left(\frac{9}{4}\right) \times \frac{16}{5} - \frac{5}{16}$

$= -\frac{5}{12} + \frac{36}{5} - \frac{5}{16}$

$= \frac{-5 \times 20 + 36 \times 48 - 5 \times 15}{240}$

$= \frac{-100 + 1728 - 75}{240}$

$= \frac{1553}{240}$

これは計算結果が小さくなるようにした場合ではないので、$\left(-\frac{5}{12}\right) \times \left(\frac{9}{4}\right) \div \left(\frac{5}{16}\right) = \left(-\frac{5}{12}\right) + \left(\frac{9}{4}\right) \times \frac{16}{5} - \frac{5}{16}$

= $- \frac{5}{12} + \frac{36}{5} - \frac{5}{16}$

= $\frac{-100 + 1728 - 75}{240}$

= $\frac{1553}{240} = 6.4708...$

A が $\times$、B が $\div$、C が $+$ の場合、

$-\frac{5}{12} + \frac{9}{4} \times \frac{16}{5} + \frac{5}{16}$

= $-\frac{5}{12} + \frac{36}{5} + \frac{5}{16}$

= $\frac{-100 + 1728 + 75}{240} = \frac{1703}{240} = 7.0958$

A が $\div$、B が $\div$、C が $-$ の場合、

$-\frac{5}{12}$ を何かで割るので数が小さくなる。

最終的な答えは、A に$\times$、B に$\times$、C に$-$を入れると、$-\frac{5}{12}-\frac{9}{4}-\frac{5}{16}$ = $-\frac{20+108+15}{48} = -\frac{143}{48}=-2.97916$

A に$\times$、B に$\times$、C に$+$を入れると、$-\frac{5}{12}+\frac{9}{4}+\frac{5}{16}$ = $-\frac{20-108+15}{48} = \frac{98-20}{48}= -\frac{73}{48}=-1.52$

Aに$\times$、Bに$\div$、Cに$-$を入れると、$-\frac{5}{12}+\frac{36}{5}-\frac{5}{16} = \frac{-100+1728-75}{240}=\frac{1553}{240}=6.47$

Aに$\times$、Bに$\div$、Cに$+$を入れると、$-\frac{5}{12}+\frac{36}{5}+\frac{5}{16} = \frac{-100+1728+75}{240}=\frac{1703}{240}=7.09$

A に$\div$、B に$\times$、C に$-$を入れると、

$-\frac{144}{5} - \frac{9}{4} - \frac{5}{16} = -28.8 -2.25-0.3125 = -31.3625$

A に$\div$、B に$\times$、C に$+$を入れると、

$-\frac{144}{5} + \frac{9}{4} + \frac{5}{16} = -28.8 +2.25+0.3125 = -26.2375$

A に$\div$、B に$\div$、C に$-$を入れると、$-\frac{144}{5}-\frac{36}{5}-\frac{5}{16} = -\frac{180*16+25}{80} = \frac{-2880-25}{80} = \frac{-2905}{80}=-36.3125$

A に$\div$、B に$\div$、C に$+$を入れると、$-\frac{144}{5}+\frac{36}{5}+\frac{5}{16} = -\frac{108}{5}+\frac{5}{16} = \frac{-1728+25}{80}=\frac{-1703}{80}=-21.2875$

3. 最終的な答え

A は $\div$, B は $\div$, C は $-$ を入れると最も小さい値 $-\frac{1703}{80}=-36.3125$ になる。

A=$\div$, B=$\div$, C=-、答え：$-\frac{1703}{80}$