次の2次関数の頂点の座標と軸の方程式、y切片を求め、グラフを描け。 (1) $y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 3$ (2) $y = -2(x+1)^2 + 5$

1. 問題の内容

次の2次関数の頂点の座標と軸の方程式、y切片を求め、グラフを描け。

(1) $y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 3$

(2) $y = -2(x+1)^2 + 5$

2. 解き方の手順

(1)

標準形 $y = a(x-p)^2 + q$ のグラフは、 $y = ax^2$ のグラフをx軸方向に $p$, y軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。

$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 3$ のグラフは、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフをx軸方向に2, y軸方向に-3だけ平行移動したものである。

グラフの形状は下に凸な放物線であり、頂点の座標は $(2, -3)$。軸の方程式は $x=2$。

$x=0$ を代入すると、 $y = \frac{1}{2}(0-2)^2 - 3 = \frac{1}{2}(4) - 3 = 2 - 3 = -1$。

よって、y切片は $(0, -1)$。

(2)

$y = -2(x+1)^2 + 5$ のグラフは、$y = -2x^2$ のグラフをx軸方向に-1, y軸方向に5だけ平行移動したものである。

グラフの形状は上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(-1, 5)$。軸の方程式は $x = -1$。

$x = 0$ を代入すると、$y = -2(0+1)^2 + 5 = -2(1) + 5 = -2 + 5 = 3$。

よって、y切片は $(0, 3)$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, -3)$、軸の方程式: $x=2$、y切片: $(0, -1)$

(2) 頂点の座標: $(-1, 5)$、軸の方程式: $x=-1$、y切片: $(0, 3)$