不等式 $\frac{x+1}{x^2 + 2x - 3} > \frac{4}{x-1}$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{x+1}{x^2 + 2x - 3} > \frac{4}{x-1}$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ なので、不等式は

$\frac{x+1}{(x+3)(x-1)} > \frac{4}{x-1}$

となります。

次に、両辺から $\frac{4}{x-1}$ を引いて、右辺を0にします。

$\frac{x+1}{(x+3)(x-1)} - \frac{4}{x-1} > 0$

左辺を通分します。

$\frac{x+1 - 4(x+3)}{(x+3)(x-1)} > 0$

$\frac{x+1 - 4x - 12}{(x+3)(x-1)} > 0$

$\frac{-3x - 11}{(x+3)(x-1)} > 0$

分子にマイナスが含まれているので、両辺に-1を掛けます。不等号の向きが変わることに注意してください。

$\frac{3x + 11}{(x+3)(x-1)} < 0$

次に、分子と分母が0になるxの値を求めます。

分子: $3x + 11 = 0$ より $x = -\frac{11}{3}$

分母: $x+3 = 0$ より $x = -3$

$x-1 = 0$ より $x = 1$

これらの値に基づいて数直線を分割し、各区間での不等式の符号を調べます。分割点は $x = -\frac{11}{3}, -3, 1$ です。

1. $x < -\frac{11}{3}$ のとき、例えば $x = -4$ を代入すると、$\frac{3(-4) + 11}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-1}{(-1)(-5)} = -\frac{1}{5} < 0$ となり、不等式を満たします。

2. $-\frac{11}{3} < x < -3$ のとき、例えば $x = -3.5$ を代入すると、$\frac{3(-3.5) + 11}{(-3.5+3)(-3.5-1)} = \frac{0.5}{(-0.5)(-4.5)} = \frac{0.5}{2.25} > 0$ となり、不等式を満たしません。

3. $-3 < x < 1$ のとき、例えば $x = 0$ を代入すると、$\frac{3(0) + 11}{(0+3)(0-1)} = \frac{11}{(3)(-1)} = -\frac{11}{3} < 0$ となり、不等式を満たします。

4. $x > 1$ のとき、例えば $x = 2$ を代入すると、$\frac{3(2) + 11}{(2+3)(2-1)} = \frac{17}{(5)(1)} = \frac{17}{5} > 0$ となり、不等式を満たしません。

したがって、不等式を満たすxの範囲は、$x < -\frac{11}{3}$ または $-3 < x < 1$ です。ただし、$x \ne 1$と$x \ne -3$です。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{11}{3}$ または $-3 < x < 1$