関数 $y = 4^x - 2^{x+2}$ ($x \le 2$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x - 2^{x+2}$ ($x \le 2$) の最大値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = 4^x - 2^{x+2}$ を変形する。

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ である。また、 $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$ である。

したがって、$y = (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x$ となる。

$t = 2^x$ とおくと、$x \le 2$ より、$2^x \le 2^2 = 4$ なので、$t \le 4$ である。また、$2^x > 0$ であるから、$0 < t \le 4$ である。

$y = t^2 - 4t = (t - 2)^2 - 4$ となる。

$0 < t \le 4$ の範囲で、$y$ は $t=2$ のとき最小値を取り、$t=0$に近いほど小さくなる。$t=4$のとき最大値をとる。

$t = 4$ のとき、$y = (4-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$ である。

$t = 4$ のとき、$2^x = 4 = 2^2$ より、$x=2$ である。

したがって、$x=2$ のとき、最大値 0 をとる。

3. 最終的な答え

$x=2$ のとき、最大値 $0$ をとる。