放物線 $y = 3 - x^2$ ($y \geq 0$)と、$x$軸に平行な直線が異なる2点A, Bで交わっている。原点をOとして、三角形OABの面積を$S$とする。 (1) 点Bの$x$座標を$b$とするとき、$S$を$b$で表す。 (2) $S$の最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 3 - x^2$ ($y \geq 0$)と、$x$軸に平行な直線が異なる2点A, Bで交わっている。原点をOとして、三角形OABの面積を$S$とする。

(1) 点Bの$x$座標を$b$とするとき、$S$を$b$で表す。

(2) $S$の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Bの座標は$(b, 3-b^2)$である。

点Aは点Bと$y$軸に関して対称なので、点Aの座標は$(-b, 3-b^2)$である。

三角形OABの底辺ABの長さは$2b$である。

三角形OABの高さは$3-b^2$である。

したがって、三角形OABの面積$S$は、

$S = \frac{1}{2} \times 2b \times (3 - b^2)$

$S = b(3 - b^2)$

$S = 3b - b^3$

(2)

$S = 3b - b^3$の最大値を求める。

$S$を$b$で微分すると、

$\frac{dS}{db} = 3 - 3b^2$

$\frac{dS}{db} = 3(1 - b^2)$

$\frac{dS}{db} = 0$となるのは、$b = 1$のとき。 ($b>0$より)

$b=1$のとき、$S = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$

増減表を考えると、

| $b$ | $0$ | ... | $1$ | ... | $\sqrt{3}$ |

|---------|-----|-----|-----|-----|-------------|

| $dS/db$ | | $+$ | $0$ | $-$ | |

| $S$ | $0$ | ↑ | $2$ | ↓ | $0$ |

したがって、$S$は$b=1$のとき最大値2をとる。

3. 最終的な答え

(1) $S = 3b - b^3$

(2) $S$の最大値は2